Problemas con el inicio de sesión en Facetime y Mensajes en iMac

Explico un poco, a ver sí alguien se ha visto en algo parecido:

Acabo de añadir un SSD (sustituyendo la Superdrive) a mi iMac de 2011, dejando como "almacen" el HDD de 1Tb que traía. Para darle más vida al SSD, he movido las carpetas de usuario al HDD, dejando el SSD sólo para sistema y programas.

El caso es que desde que lo he reinstalado todo, intento iniciar sesión en Mensajes y Facetime y nada, no hay manera.

En Mensajes me da esta respuesta:

"Por el momento no se puede usar tu ID de Apple '(AppleID)' para configurar iMessage.

Si este ID de Apple es nuevo, no es necesario que crees otro. Para usar tu ID de Apple con iMessage, ponte en contacto con el servicio de soporte de iMessage y cita el código que figura abajo.

Código de cliente: XXXX-XXXX-XXXX"

En Facetime, ni siquiera me da mensaje de error; simplemente me pide password, pasa la pantalla que te muestra número de teléfono y mails de la cuenta, le doy a "siguiente" y vuelve a la pantalla en la que me pide el password otra vez.

Decir que en mi iPhone, iPad y en mi MBP (al que también le he cambiado el disco duro, aunque sin mover usuarios) funcionan perfectamente, incluso en la misma red. ¡Ah! Y los otros servicios de Apple, como iTunes, App Store, Game Center, van perfectamente con mi Apple ID en el iMac...

He probado a abrir los puertos que Apple recomienda para estas apps, (para la IP fija que le tengo asignada al iMac) aunque en los otros dispositivos y antes de los cambios, en el mismo iMac, todo funcionaba a la perfección.

También he probado a crear un nuevo usuario y probar el mismo Apple ID en él, pero nada. Me inicia sesión en Mensajes la primera vez, pero a la segunda aparece el mismo mensaje de error y, en Facetime, ni la primera vez siquiera.

He formateado el disco del sistema, y he probado a iniciar sesión antes de trasladar las carpetas de usuario...

Nada me ha funcionado, y por internet o en el Apple Support no encuentro nada... ¿alguna idea?